Closed Subgroups in Pro-v Topologies and the Extension Problem for Inverse Automata 1

We relate the problem of computing the closure of a nitely generated subgroup of the free group in the pro-V topology, where V is a pseudovariety of nite groups, with an extension problem for inverse automata which can be stated as follows: given partial one-to-one maps on a nite set, can they be extended into permutations generating a group in V? The two problems are equivalent when V is extension-closed. Turning to practical computations, we modify Ribes and Za-lesski's algorithm to compute the prop closure of a nitely generated subgroup of the free group in polynomial time, and to eeectively compute its pro-nilpotent closure. Finally, we apply our results to a problem in nite monoid theory, the membership problem in pseudovarieties of inverse monoids which are Mal'cev products of semilattices and a pseudovariety of groups. RR esum e Nous etablissons un lien entre le probll eme du calcul de l'adhh erence d'un sous-groupe niment engendrr e du groupe libre dans la topologie pro-V, o u V est une pseudovarii et e de groupes nis, et un probll eme d'extension pour les automates inversifs qui peut ^ etre enoncc e de la faa con suivante : etant donnn ees des transformations partielles injectives d'un ensemble ni, peuvent-elles ^ etre etendues en des permutations qui engendrent un groupe dans V ? Les deux probll emes sont equivalents si V est fermm ee par extensions. Nous intt eressant ensuite aux calculs pratiques, nous modiions l'algorithme de Ribes et Zalesski pour calculer l'adhh erence prop d'un sous-groupe niment engendrr e du groupe libre en temps polynomial et pour cal-culer eeectivement sa cl^ oture pro-nilpotente. Ennn nous appliquons nos rr esultats a un probll eme de thh eorie des mono des nis, celui de de l'appartenance dans les pseu-dovari et es de monodes inversifs qui sont des produits de Mal'cev de demi-treillis et d'une pseudovari ett e de groupes.